Пояснительная записка
Сегодня нет необходимости доказывать актуальность темы
«Задачи с параметрами» в рамках обучения математике в школе.
Вместе с тем приходится констатировать факт отсутствия у
большинства выпускников общеобразовательных школ требуемого
уровня подготовленности по этой теме. Ситуация с качеством знаний,
уровнем сформированности умений и навыков по теме «Задачи с
параметрами» меняется незначительно. Причиной является
отсутствии базы, поскольку существующие учебные программы по
математике и тематические планирования к ним (в том числе и
тематические планирования учебных программ обучения математике
на профильном уровне) явно не предусматривают обучение решению
задач с параметрами. В силу вышеизложенного автор считает
необходимым преподавание данного курса.
Цели и задачи курса:
• изучение методов решения задач избранного класса и
формирование умений, направленных на реализацию этих
методов;
• сформировать у учащихся представление о задачах с
параметрами как задачах исследовательского характера,
показать их многообразие;
• научить применять аналитический метод в решении задач с
параметрами;
• научить приёмам выполнения изображений на плоскости и их
использованию в решении задач с параметрами;
• научить осуществлять выбор рационального метода
решения задач и обосновывать сделанный выбор;
• способствовать подготовке учащихся к вступительному экзамену
по математике.
Отдельные вопросы представленной программы по своим
формулировкам дублируют вопросы учебных программ по
математике (например, в программе курса предусмотрено
рассмотрение вопросов «Рациональные и иррациональные уравнения
и неравенства», «Степенная функция»). Следует уточнить, что
рассмотрение таких вопросов призвано систематизировать знания
учащихся и, что самое главное, подготовить их к работе с подобными
объектами в задачах с параметрами. В частности, при решении

рациональных и иррациональных уравнений акцент сделан на
специфике уравнений каждого вида с целью её использования для
нахождения контрольных значений в задачах с параметрами;
рассмотрение свойств степенной функции направлено на отработку
на последующих занятиях умений выполнять построение её
графиков с применением параллельного переноса, растяжения и
сжатия, симметрии, что необходимо для решения задач с
параметрами с использованием графических интерпретаций.
Содержание курса и методические
рекомендации по его изучению
(2 часа в неделю, всего 68 часов)
I. Введение (4 часа)
Понятие о параметрах. Контрольные значения параметра.
Постановка задач с параметрами. Понятие об основных
методах решения задач с параметрами.
Основная цель - сформировать понятие о параметре;
познакомить с многообразием вопросов в задачах с
параметрами, с основными методами их решений аналитическим и с использованием графических
интерпретаций.
II. Аналитические методы решения задач с параметрами (18
часов)
Рациональные и иррациональные уравнения и
неравенства. Линейные уравнения, неравенства, системы
линейных уравнений с параметрами. Квадратные уравнения
и неравенства с параметрами. Иррациональные уравнения с
параметрами.
Основная цель - систематизировать умения в решении
рациональных и иррациональных уравнений, неравенств;
сформировать умения решать уравнения и неравенства
указанных видов с параметрами.
Изучение темы начинается с повторения курса
основной школы - решения линейных, квадратных,
дробных уравнений и неравенств, иррациональных
уравнений.
Решению
дробных
уравнений
предшествует введение понятия равносильности. Его
появление требует отработки: основное внимание

следует уделить процессу осмысления учащимися
выполнения преобразований в ходе решения
уравнений и неравенств, приводящих к равносильным
уравнениям, неравенствам, системам.
В процессе обучения решению уравнений и неравенств с
параметрами делается акцент на разбиении контрольными
значениями множества значений параметра на подмножества
и решении исходной задачи на каждом из образовавшихся
подмножеств в контрольных значениях.
Наряду с решением линейных и квадратных уравнений и
неравенств при каждом значении параметра рассматриваются
задачи на определение числа решений системы двух
линейных уравнений с двумя переменными, знаков корней
квадратного уравнения в зависимости от значений параметра,
а также задачи с параметрами, решение которых
предусматривает использование свойств квадратичной и
линейной функций.
III.Функции и графики (20 часов)
Свойства функций у=х2, у= Ух и их графики.
Построение графика функции y=f(x-a) +b.
Построение графика функции y=af (bx)
Значительная часть учебного времени курса отведена главе
«Функции и графики», в рамках изучения которой происходит
существенное расширение знаний и умений учащихся: изучается и
отрабатывается построение графиков функций y=[f(x)i,
y=f([x]),y=[f«x])l и уравнений
y=[f (х)], [у]= [f (х)], y=f ([х]), y=[f ([х])]
использование графиков функций и уравнений при изображении
множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами
неравенств. Рассмотрению вопросов построения графиков с
модулем логично предшествует изучению темы «Уравнения и
неравенства с модулем». Уровень овладения знаниями и умениями
по теме «Функции и графики», предусмотренный настоящей
программой, позволит учащимся эффективно использовать
изображения на плоскости не только в решении задач с
параметрами, но и в решении широкого спектра других задач.
Одно из центральных мест в школьном курсе математики

занимает тема «Квадратный трёхчлен». Настоящей программой во
второй главе предусмотрено рассмотрение свойств ограниченности,
знакопостоянства, наличие и отсутствие корней квадратного
трёхчлена; применение этих свойств в решении задач с
параметрами. В четвёртой главе изучаются вопросы расположения
корней квадратного трёхчлена, коэффициенты которого зависят от
параметра, относительно точки, отрезка.
Курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления, концентрации
внимания и математической культуры учащихся, расширяет по
сравнению с общеобразовательной программой сферу
математических знаний, побуждает их к исследовательской
деятельности, существенно повышает графическую культуру
школьников. Воспитательный эффект курса заключается в
формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие,
целеустремлённость, аккуратность
В рамках преподавания наряду с лекциями и семинарами
предусматривается активное использование элементов
проблемного обучения. Доминирующей формой обучения должна
стать поисково-исследовательская деятельность учащихся,
реализация которой осуществляется как в рамках уроков, так и в
ходе выполнения домашних заданий.
IY. Использование графических интерпретаций в
решении задач с параметрами (22 часа)
Решение задач с параметрами с использованием
изображения на плоскости (х; а), где а - параметр. Решение
задач с параметрами с использованием изображения на
плоскости (х; у).
Решение задач с параметром на расположение корней квадратного
трёхчлена относительно точки, отрезка.
Основная цель - сформировать представление о методах
решения задач с параметрами с использованием графических
интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на
основе анализа осуществлять выбор метода решения.
В начале обучения рассматривается вопрос о количестве корней
уравнения (в зависимости от значений параметра) при условии его

разрешимости относительно параметра. На конкретном примере
учащимся демонстрируется метод использования изображения на
плоскости (х; а), где а - параметр; при котором акцентируется
внимание на условиях применения способа.
Отработка осуществляется в ходе разбора задач, содержащих
вопросы о нахождении значений параметра, при которых имеется
конкретное число решений; решения имеются или отсутствуют;
решения удовлетворяют некоторым условиям. Также
рассматриваются задачи о нахождении при каждом значении
параметра.
Далее учащиеся знакомятся с методом использования
изображения на плоскости (х; у) и отрабатывают его в ходе
решения задач. Вновь делается акцент на условиях
использования метода.
Особое внимание уделяется задачам, решение которых возможно
осуществить каждым из двух методов; при решении конкретной
задачи обсуждаются преимущества и недостатки каждого метода.
В последней части главы изучается и отрабатывается метод
решения задач на расположение корней квадратного трёхчлена
относительно точки, отрезка. В процессе отработки не следует
предлагать учащимся заучивать условия, накладываемые на
величины, определяющие положение графика квадратичной
функции на плоскости в разных случаях. Необходимо, чтобы
ученики поняли принцип их получения и умели проводить
необходимые рассуждения при решении конкретных задач.
Y.Повторение. Решение задач (4 часа)
Ожидаемые результаты
■ уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства,
системы двух линейных уравнений с двумя переменными,
несложные иррациональные уравнения с одним параметром при
всех значениях параметра;
■ использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной
и линейной функций;
■ устанавливать свойства функций у=х2, у= Ух и изображать их
графики при различных значениях р и п;
■ изображать графики функций y=f(x-a) +b, y=af (bx) по
известному графику функции y=f(x);
■ изображать графики

■

■
■
■

функций y=[f (х)Ь у=
f ([х]), y=[f ([х])] и
уравнений
y=[f (х)Ь [у]= [f (х)Ь y=f (М)> y=[f (М)]
по известному графику функции
y=f(x)
использовать графики функций и уравнений при
изображении множеств точек плоскости, заданных
неравенствами, системами неравенств.
овладеть методами решения задач с параметрами с использованием
графических интерпретаций
осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
владеть техникой использования каждого метода

Значительная часть учебного времени курса отведена главе
«Функции и графики», в рамках изучения которой происходит
существенное расширение знаний и умений учащихся: изучается и
отрабатывается построение графиков функций
У=Р(*)Ь y=f([xl),y=[f([xDl
и уравнений
y=[f (х)], [у]= [f (X)], y=f (W), y=[f ([х])]
использование графиков функций и уравнений при изображении
множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами
неравенств. Рассмотрению вопросов построения графиков с
модулем логично предшествует изучению темы «Уравнения и
неравенства с модулем». Уровень овладения знаниями и умениями
по теме «Функции и графики», предусмотренный настоящей
программой, позволит учащимся эффективно использовать
изображения на плоскости не только в решении задач с
параметрами, но и в решении широкого спектра других задач.
Одно из центральных мест в школьном курсе математики
занимает тема «Квадратный трёхчлен». Настоящей программой во
второй главе предусмотрено рассмотрение свойств ограниченности,
знакопостоянства, наличие и отсутствие корней квадратного
трёхчлена; применение этих свойств в решении задач с
параметрами. В четвёртой главе изучаются вопросы расположения
корней квадратного трёхчлена, коэффициенты которого зависят от
параметра, относительно точки, отрезка.

Курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления, концентрации
внимания и математической культуры учащихся, расширяет по
сравнению с общеобразовательной программой сферу
математических знаний, побуждает их к исследовательской
деятельности, существенно повышает графическую культуру
школьников. Воспитательный эффект курса заключается в
формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие,
целеустремлённость, аккуратность.
В рамках преподавания наряду с лекциями и семинарами
предусматривается активное использование элементов
проблемного обучения. Доминирующей формой обучения должна
стать поисково-исследовательская деятельность учащихся,
реализация которой осуществляется как в рамках уроков, так и в
ходе выполнения домашних заданий.
По окончании каждой главы (за исключением первой)
проводится контрольная работа, уровень которой зависит от
степени усвоения учебного материала, продемонстрированной
учащимися в ходе изучения главы.

Рекомендуемая литература
1. Амелькин В.В., Рабцевич B.JI. Задачи с параметрами:
Справочное пособие по математике. - Минск. : Асар, 1996.
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное
пособие для школ и классов с углубленным изучением
математики. - М.: Просвещение, 1995
3. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для
систематизации знаний по математике: Учебное пособие для
абитуриентов. Часть 1 и 2. - Пермь: издательство Пермского
университета, 2000
4. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Зацачи письменного экзамена
по математике за курс средней школы: условия и решения. М.: Школа-Пресс, 1994

5. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина
Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по
математике в 9 классе: Пособие для учителя. - М.:
Просвещение, 1996.
6. Литвиненко В.П., Мордкович АТ. Практикум по
элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. - М.:
ABF, 1995
7. Сборник задач по математике для домашних заданий
при подготовке к вступительным экзаменам в ННГУ/
составитель А.И. Нестеренко, В.И. Лукьянов, З.Г.
Павлючонок. - Нижний Новгород: ННГУ, 2002 г.
8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение
задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. М.:Просвещение, 1989.
9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное
пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1995.
10.Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение
задач с модулями: Пособие для абитуриентов и
старшеклассников. - СПб.: Оракул, 1997.